Question

已知雙曲線的右焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，直線AB的斜率為

3 7

7

，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  5

• C、4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得

FA

•

FB

=0，再由點(diǎn)A在雙曲線上且直線AB的斜率，得到關(guān)于x₁、y₁、a、b的方程組，聯(lián)解消去x₁、y₁得到關(guān)于a、b的等式，結(jié)合b²+a²=c²=4解出a=1，可得離心率e的值．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
∵焦點(diǎn)F（2，0）在以線段AB為直徑的圓上，
∴∠BFA=90°，可得

FA

•

FB

=（x₁-2）（-x₁-2）-y₁²=0，
即為x₁²+y₁²=4，…①
又∵點(diǎn)A在雙曲線上，且直線AB的斜率為

3 7

7

，∴

x12 a2 - y12 b2 =1 y1= 3 7 7 x1

，…②．
由①②聯(lián)解消去x₁、y₁，得

1

a2

-

9 7

b2

=

4

7

，…③
又∵F（2，0）是雙曲線的右焦點(diǎn)，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化簡整理得a⁴-8a²+7=0，解之得a²=1或7，
由于a²＜c²=4，所以a²=7不合題意，舍去．
故a²=1，得a=1，離心率e=

c

a

=2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線滿足的條件，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、參數(shù)a、b、c的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．