Question

根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線；
（2）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且過點(diǎn)P（-2，0），Q（3，

5

2

）的雙曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)出拋物線方程，再由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4求得p值，則拋物線方程可求；
（2）由雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)P（-2，0），可得a=2，由此設(shè)出雙曲線方程為

x2

4

-

y2

b2

=1，把點(diǎn)Q（3，

5

2

）代入雙曲線方程求得b的值，則雙曲線方程可求．

解答： 解：（1）由題意可得拋物線方程為x²=2py 或x²=-2py．
又頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，即

p

2

=4，∴p=8．
∴拋物線方程為：x²=16y 或x²=-16y；
（2）∵雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)P（-2，0），
∴P為雙曲線的一個頂點(diǎn)，則a=2，
由此可設(shè)雙曲線方程為

x2

4

-

y2

b2

=1．
又雙曲線過點(diǎn)Q（3，

5

2

），則

32

4

-

( 5 2 )2

b2

=1，解得：b²=5．
∴所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了拋物線與雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．