Question

已知sinθ和cosθ為方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根，求：
（Ⅰ）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

（Ⅱ）m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)sinθ和cosθ為方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根，利用韋達(dá)定理求出sinθcosθ與sinθ+cosθ，原式利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，整理后將sinθ+cosθ的值代入計(jì)算即可求出值；
（Ⅱ）將sinθ+cosθ=

3 +1

2

兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinθcosθ的值，即可確定出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinθ和cosθ為方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根，
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθcosθ=

m

2

，
則原式=

sinθ

1- cosθ sinθ

+

cosθ

1- sinθ cosθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

；
（Ⅱ）將sinθ+cosθ=

3 +1

2

兩邊平方得：1+2sinθcosθ=

2+ 3

2

，
∴sinθcosθ=

3

4

，即

m

2

=

3

4

，
則m=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．