Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f（4）-f（2）=1．
（1）若f（3m-3）＜f（2m+1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求使$f（x+\frac{2}{x}）={log_2}3$成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解方程得出a，再利用f（x）的單調(diào)性列方程組解出m；
（2）由題設(shè)可知x+$\frac{2}{x}$=3，解方程得出x的值．

解答 解：（1）∵f（4）-f（2）=1，∴l(xiāng)og_a4-log_a2=log_a2=1．
∴a=2，∴f（x）=log₂x．
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（3m-3）＜f（2m+1），∴$\left\{\begin{array}{l}3m-3＞0\\ 2m+1＞0\\ 3m-3＜2m+1\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜4．
（2）∵f（x+$\frac{2}{x}$）=log₂（x+$\frac{2}{x}$）=log₂3，∴x+$\frac{2}{x}$=3，
解得x=1或x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．