Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+bx+c在x=1處的切線是y=（3a-3）x-3a+4．
（1）試用a表示b和c；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），求出f′（1），根據(jù)條件求出f（1），列出方程，得到b=3a，c=3-3a；
（2）用a表示b，c改寫函數(shù)f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），并配方，對(duì)a進(jìn)行討論，分a≥1，a＜1，對(duì)a＜1再分-3＜a＜1和a≤-3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最小值，最后用分段函數(shù)表示即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-6x+b，
∴f′（1）=-3+b，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線是y=（3a-3）x-3a+4，
∴b-3=3a-3，即b=3a，
又f（1）=b+c-2=1，即c=3-3a；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，
∴f′（x）=3x²-6x+3a=3（x-1）²+3（a-1）
∴當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≥0在[1，3]上恒成立，
即f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1；
當(dāng)a＜1時(shí)，由f'（x）=3（x-1）²+3（a-1）≥0得x≥1+

1-a

或x≤1-

1-a

，
由f'（x）=3（x-1）²+3（a-1）≤0得1-

1-a

≤x≤1+

1-a

，
又∵1-

1-a

＜1∴當(dāng)1+

1-a

≥3，即a≤-3時(shí)，有f'（x）≤0在[1，3]上恒成立，
即f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（3）=6a+3；
當(dāng)1+

1-a

＜3，即-3＜a＜1時(shí)，
∴當(dāng)1≤x≤1+

1-a

時(shí)，f'（x）≤0，當(dāng)1+

1-a

≤x≤3時(shí)，f'（x）≥0，
即f（x）在[1，1+

1-a

]上單調(diào)遞減，在[1+

1-a

，3]上單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(1+

1-a

)=1-2(a+1)

1-a

；
綜上可得，f（x）_min=

1，a≥1 1-2(a+1) 1-a ，-3＜a＜1 6a+3，a≤-3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最值，同時(shí)考查分類討論思想，注意分類的全面，是一道綜合題．