Question

已知函數f（x）=e^x-x-1（e為自然對數的底數，e=2.71828…）
（1）判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由；
（2）已知n∈N^*，且An+Bn=

∫

n 0

f(x)dx+n，A_n是等差數列{a_n}的前n項和，B_n是首項為e-1的等比數列{b_n}的前n項和，請求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（3）若{x|f（x）＞ax-1}∩{x|

1

2

≤x≤2}=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的應用,函數零點的判定定理

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，可得最小值，即可確定函數f（x）的零點個數；
（2）利用定積分，可得A_n+B_n=-

1

2

n2+eⁿ-1，由等差數列、等比數列的前n項和性質可得結論；
（3）x∈[

1

2

，2]時，f（x）＞ax-1等價于e^x-x＞ax，即a＜

ex-x

x

，求出右邊的最大值，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
∴x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（0）=0，
∴x≠0時，f（x）＞0，故f（x）只有一個零點；
（2）∵An+Bn=

∫

n 0

f(x)dx+n，
∴A_n+B_n=-

1

2

n2+eⁿ-1，
由等差數列、等比數列的前n項和性質可知：A_n=-

1

2

n2，B_n=eⁿ-1，
∴a_n=-n+

1

2

，b_n=（e-1）e^n-1；
（3）x∈[

1

2

，2]時，f（x）＞ax-1等價于e^x-x＞ax，即a＜

ex-x

x

，
設g（x）=

ex-x

x

，則g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
x＞1時，g′（x）＞0；x＜1時，g′（x）＜0，
∵g（

1

2

）=2

e

-1，g（2）=

e2

2

-1，
∴x∈[

1

2

，2]時，g（x）_max=g（2）=

e2

2

-1，
∴a＜

e2

2

-1，即a的取值范圍為（-∞，

e2

2

-1）．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查導數知識，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．