Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁：x²+y²=1，將C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的

3

、2倍后得到曲線C₂．以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）試寫(xiě)出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在曲線C₂上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l的直角坐標(biāo)方程為2x-y-6=0，由于曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為(

x

3

)2+(

y

2

)2=1，可得曲線C₂的參數(shù)
方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(

3

cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離為：d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(600-θ)-6|

5

，故當(dāng)sin（60⁰-θ）=-1時(shí)，可令θ=150°，點(diǎn)P(-

3

2

，1)，從而得到d的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 由題意知，直線l的直角坐標(biāo)方程為：2x-y-6=0，
∵曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：(

x

3

)2+(

y

2

)2=1，
∴曲線C₂的參數(shù)方程為：

x= 3 cosθ y=2sinθ

(θ為參數(shù))．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(

3

cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離為：d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(600-θ)-6|

5

，
故當(dāng)sin（60⁰-θ）=-1時(shí)，可令θ=150°，點(diǎn)P(-

3

2

，1)，
此時(shí)dmax=

|-4-6|

5

=2

5

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．