3．已知F是雙曲線C：x2-y2=2的右焦點，P是C的左支上一點，A（0，2）．當△APF周長最小時，該三角形的面積為3．

分析 利用雙曲線的定義，確定△APF周長最小時，P的坐標，即可求出△APF周長最小時，該三角形的面積

解答 解：設左焦點為F1（-2，0），右焦點為F（2，0）．
△APF周長為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（|PF1|+2a）=|AF|+|AP|+|PF1|+2a≥|AF|+|AF1|+2a，
當且僅當A，P，F(xiàn)1三點共線，即P位于P0時，三角形周長最小．
此時直線AF1的方程為y=x+2，代入x2-y2=2中，可求得${P_0}（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，
故${S_{△A{P_0}F}}={S_{△A{F_1}F}}-{S_{△{P_0}{F_1}F}}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}=3$．
故答案為：3．

點評 本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計算，確定P的坐標是關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2017屆重慶市高三文上適應性考試一數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

將圓上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線．

（1）寫出曲線的參數(shù)方程；

（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸坐標建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，若分別為曲線和直線上的一點，求的最近距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．如圖，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于點F，若BF=FC=3，DF=FE=2．
（1）求證：AD•AB=AE•AC；
（2）求線段BC的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（　�。�
A．$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$B．2C．$2\sqrt{2}$D．3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．如圖，在四棱錐O-ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E為OD的中點，OA=AC=$\frac{1}{2}$AD=2，AC平分∠BAD．
（1）求證：CE∥平面OAB；
（2）求四面體OACE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，O為A1C1與B1D1的交點，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．
（1）求證：平面A1BC1⊥平面B1BDD1；
（2）求點O到平面BC1D的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E為棱PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若PD=AD=2，PB⊥AC，求點P到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．如圖，點E在△ABC的外接圓O上，AB=AC，$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，AC交BE于點D，圓O的面積為S．
（1）證明：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$；
（2）若△ABC的面積S1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD•BE，證明：$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．如圖，高為3的直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D為A1C1的中點，F(xiàn)在線段AA1上，CF⊥DB1，且A1F=1．
（1）求證：CF⊥平面B1DF；
（2）求平面B1FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值．

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