Question

16．如圖，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于點F，若BF=FC=3，DF=FE=2．
（1）求證：AD•AB=AE•AC；
（2）求線段BC的長度．

Answer 1

分析 （1）推導出B，C，D，E四點在以BC為直徑的圓上，由割線定理能證明AD•AB=AE•AC．
（2）過點F作FG⊥BC于點G，推導出B，G，F(xiàn)，D四點共圓，F(xiàn)，G，C，E四點共圓，由此利用割線定理能求出BC的長．

解答 證明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，
所以B，C，D，E四點在以BC為直徑的圓上，
由割線定理知：AD•AB=AE•AC．…（3分）
解：（2）如圖，過點F作FG⊥BC于點G，
由已知，∠BDC=90°，又因為FG⊥BC，所以B，G，F(xiàn)，D四點共圓，
所以由割線定理知：CG•CB=CF•CD，①…（5分）
同理，F(xiàn)，G，C，E四點共圓，由割線定理知：
BF•BE=BG•BC，②…（7分）
①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，
即BC²=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…（8分）
所以BC=$\sqrt{30}$．…（10分）

點評 本題考查兩組線段長的乘積相等的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意四點共圓和切割線定理的合理運用．