Question

已知．
（1）若，求證：a是奇數(shù)；
（2）求證：對于任意n∈N^*，都存在正整數(shù)k，使得．

Answer 1

解：（1）由二項式定理，得a_n==++++…+，
又a_n=a+b（a，b∈Z），
∴a=+++…，
∵2+2²+…為偶數(shù)，
∴a是奇數(shù)．…（4分）
證明：（2）由（1）設(shè)a_n==a+b（a，b∈Z），
則=a-b（a，b∈Z），…（5分）
∴a²-2b²=（a+b）（a-b）=•=（1-2）ⁿ，…（6分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，a²=2b²+1，存在k=a²，使得a_n=a+b=+=+，…（8分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，a²=2b²-1，存在k=2b²，使得a_n=a+b=+=+，…（9分）
綜上，對于任意n∈N^*，都存在正整數(shù)k，使得a_n=+． …（10分）
分析：（1）利用二項式定理將a_n=（n∈N^*）展開，可求得a=+++…，從而可證a是奇數(shù)；
（2）由設(shè)a_n==a+b（a，b∈Z），可求得=a-b（a，b∈Z），從而可得a²-2b²=（1-2）ⁿ，對n分n為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論即可．
點評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查二項式定理的綜合應(yīng)用，（2）中證明a²-2b²=（1-2）ⁿ是關(guān)鍵，也是難點，考查深刻理解題意與靈活轉(zhuǎn)換的能力，屬于難題．