已知
(1)若,求證:a是奇數(shù);
(2)求證:對于任意n∈N*,都存在正整數(shù)k,使得
【答案】分析:(1)利用二項式定理將an=(n∈N*)展開,可求得a=+++…,從而可證a是奇數(shù);
(2)由設an==a+b(a,b∈Z),可求得=a-b(a,b∈Z),從而可得a2-2b2=(1-2)n,對n分n為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論即可.
解答:解:(1)由二項式定理,得an==++++…+,
又an=a+b(a,b∈Z),
∴a=+++…,
∵2+22+…為偶數(shù),
∴a是奇數(shù).…(4分)
證明:(2)由(1)設an==a+b(a,b∈Z),
=a-b(a,b∈Z),…(5分)
∴a2-2b2=(a+b)(a-b)==(1-2)n,…(6分)
當n為偶數(shù)時,a2=2b2+1,存在k=a2,使得an=a+b=+=+,…(8分)
當n為奇數(shù)時,a2=2b2-1,存在k=2b2,使得an=a+b=+=+,…(9分)
綜上,對于任意n∈N*,都存在正整數(shù)k,使得an=+.   …(10分)
點評:本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),著重考查二項式定理的綜合應用,(2)中證明a2-2b2=(1-2)n是關鍵,也是難點,考查深刻理解題意與靈活轉(zhuǎn)換的能力,屬于難題.
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