Question

設函數f(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，記函數g(x)的最大值與最小值的差為h(a)．

(1)求函數h(a)的解析式；

(2)畫出函數y＝h(x)的圖象并指出h(x)的最小值．

 

Answer 1

（1）h(a)＝

（2）見解析

【解析】【解析】
(1)由題意知g(x)＝

當a<0時，函數g(x)是[1,3]上的增函數，

此時g(x)max＝g(3)＝2－3a，

g(x)min＝g(1)＝1－a，

所以h(a)＝1－2a；

當a>1時，函數g(x)是[1,3]上的減函數，

此時g(x)min＝g(3)＝2－3a，

g(x)max＝g(1)＝1－a，

所以h(a)＝2a－1；

當0≤a≤1時，若x∈[1,2]，

則g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；

若x∈(2,3]，則g(x)＝(1－a)x－1，

有g(2)<g(x)≤g(3)，

因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，

而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，

故當0≤a≤時，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；

當<a≤1時，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.

綜上所述，h(a)＝

(2)畫出y＝h(x)的圖象，如圖所示，數形結合可得h(x)min＝h()＝.