Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ x³－mx²＋(m²－4)x，x∈R．
（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)（2，f(2)）處的切線方程；
（2）已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β．若對(duì)任意的
x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1) 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

見解析

解：(1)當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝ x³－3x²＋5x，f ′ (x)＝x²－6x＋5．
因?yàn)?i>f(2)＝ ，f ′ (2)＝－3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）， 切線的斜率為－3．
則所求的切線方程為y－ ＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0．
（2）解法一：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
當(dāng)x∈（－∞，m－2）時(shí)，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（m－2，m＋2）時(shí)，f ′ (x)＜0，f(x)在（m－2，m＋2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（m＋2，＋∞）時(shí)，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且f(x)＝x[x²－3mx＋3(m²－4)]，
所以解得m∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)．
當(dāng)m∈(－4，－2)時(shí)，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0．
此時(shí)f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去；
當(dāng)m∈(－2，2)時(shí)，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值．
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1；
當(dāng)m∈(2，4)時(shí)，0＜m－2＜m＋2，所以0<α＜m－2＜m＋2＜β．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值．
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1 (舍去)．
綜上可知，m的取值范圍是{－1}．
解法二：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
所以，當(dāng)x∈（－∞，m－2）時(shí)，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(m－2，m＋2)時(shí)，f ′ (x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（m＋2，＋∞）時(shí)，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函數(shù)．…9分
當(dāng)α＜β＜0時(shí)，必有α＜m－2＜β＜m＋2＜0，則當(dāng)x∈[α，β]時(shí)，f(x)的最小值是f(α)＝0．
此時(shí)f(1)＞f(0)＝0＝f(α)，與題意不合，故舍去；
當(dāng)α＜0＜β時(shí)，則有α＜m－2＜0＜m＋2＜β，此時(shí)3(m²－4)＜0，即－2＜m＜2．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值．
又函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值就是極小值，所以f′(1)＝0，得m＝3（舍去）或m＝－1；
當(dāng)0＜α＜β時(shí)，則有0＜α＜m－2＜m＋2＜β，此時(shí)
解得m∈(2，4)．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值．
又函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值就是極小值，所以f ′(1)＝0，得m＝3或m＝－1（舍去）．
又因?yàn)楫?dāng)m＝3時(shí)，f(1)為極大值，與題意不合，故舍去．
綜上可知，m的取值范圍是{－1}．