Question

已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點G，使得D點到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要證平面PDC⊥平面PAD，只需證明平面PDC的中心CD，垂直平面PAD內的兩條相交直線PA、AD即可；
（Ⅱ）CD的中點為F，連接EF、AF，說明∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角，解三角形求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC邊上存在一點G，設BG=x，過點D作DM⊥AG于M．利用，推出線段DM的長是點D到平面PAG的距離為1．
法二：建立空間直角坐標系，推出證明CD⊥平面PAD，然后證明 平面PDC⊥平面PAD；利用求解（Ⅱ）．則G（1，x，0）．利用2S_△ADG=S_矩形ABCD，求出x的值，即可確定存在一點G．
解答：法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）解：設CD的中點為F，連接EF、AF．
∵E是PD中點，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，計算得，，，，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．（10分）
（Ⅲ）解：假設在BC邊上存在點G，使得點D到平面PAG的距離為1．
設BG=x，過點D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離，即DM=1．（12分）
又，
解得．
所以，存在點G且當時，使得點D到平面PAG的距離為1．（14分）
法二：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），
B（1，0，0），C（1，2，0），
D（0，2，0），E（0，1，），
P（0，0，1）．
∴=（-1，0，0），=（0，2，0），=（0，0，1），=（0，1，），
=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵，
∴CD⊥AD．
∵，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）∵=，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．（10分）
（Ⅲ）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，令BG=x，則G（1，x，0）．
作DQ⊥AG于Q，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥面PAG．
∴線段DQ的長是點D到平面PAG的距離，即DQ=1．（12分）
∵2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴．
∴．
又，
∴．
故存在點G，當BG=時，使點D到平面PAG的距離為1．（14分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，異面直線所成的角，點到平面的距離，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．