Question

關于x的方程x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有實根，則a²+b²的最小值為

4

5

．

Answer 1

分析：設f（x）=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有實根即（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2=0有實根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于-2，由此能夠求出a²+b²的最小值．

解答：解：設f（x）=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有實根
即（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2=0有實根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于-2，
令t=x+

1

x

，
設g（t）=t²+at+b-2，
則有：
△=a²-4b+8≥0，①
由①可得|a|≥4或|a|≤4且b≤6，
g（t）=t²+at+b-2=0，
有兩根，分別為-

a

2

-

a2-4(b-2)

2

、-

a

2

+

a2-4(b-2)

2

，
分析可得有-

a

2

-

a2-4(b-2)

2

≤-2或-

a

2

+

a2-4(b-2)

2

≥2，
化簡得2a-b≥2 其中a²-4（b-2）≥0，
若b≥-2 則2a-b≥2可化為a²≥

b2

4

+b+1≥4（b-2）相等情況為b=6
則可設2a=b+2+p 其中p≥0
則a²+b²=

4

5

（

p

2

+1），分析可得p=0時，a²+b²的最小值為

4

5

，
故答案為：

4

5

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應用，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．