(湖南省●2010年月考)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:MN⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線BC1和平面A1BC所成角的大小.
                                                       
                                                       
見解析
解法一:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC1

     所以BC⊥平面ACC1A1.連結(jié)AC1,則BC⊥AC1.                          
     由已知,側(cè)面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.                             
     又,所以AC1⊥平面A1BC.
因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形,M是A1B的中點(diǎn),連結(jié)AB1,則點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn).
又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn),則MN是△AB1C1的中位線,所以MN∥AC1.  故MN⊥平面A1BC.                                                         
     (Ⅱ)因?yàn)锳C1⊥平面A1BC,設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)D,連結(jié)BD,則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角.                            
       設(shè)AC=BC=CC1a,則.                           
在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=,                                    
所以∠C1BD=30º,故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º.                   
解法二:(Ⅰ)據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點(diǎn),
CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間
直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)AC=BC=CC1a,則
,
, 
所以,.
于是,即MN⊥BA1,MN⊥CA1.
,故MN⊥平面A1BC.
(Ⅱ)因?yàn)镸N⊥平面A1BC,則為平面A1BC的法向量,又,
,所以.
     故直線BC1和平面A1BC所成的角為30º.
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