Question

設拋物線的頂點為O，經(jīng)過焦點垂直于軸的直線和拋物線交于兩點B，C，經(jīng)過拋物線上一點P垂直于軸的直線和軸交于點Q，求證：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中項．

Answer 1

證明：設拋物線為y²=2px（p＞0）．則焦點F（，0），
依題意，B，C的坐標可由得：y²=p²，y=p或-p，
∴B（，p），C（，-p），|BC|=p-（-p）=2p；
設P（2pt²，2pt），則Q（2pt²，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt²
|BC|×|OQ|=2p×2pt²=4p²t²=（2pt）²=|PQ|²，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中項．
分析：設設拋物線為y²=2px（p＞0），可求得|BC|=2p，設P（2pt²，2pt），則Q（2pt²，0），可求得|PQ|與|OQ|，從而可證得|BC|×|OQ|=|PQ|²．
點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查等比關系的確定，求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是關鍵，考查分析與推理證明的能力，屬于中檔題．