13．設(shè)P是曲線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡的普通方程為8x2-4y2=1．

分析 由sec2θ-tan2θ=1，可得曲線的方程為2x2-y2=1，設(shè)P（x0，y0），M（x，y），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入曲線方程，化簡整理即可得到所求軌跡方程．

解答 解：曲線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），即有
$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\sqrt{2}x}\\{tanθ=y}\end{array}\right.$，
由sec2θ-tan2θ=1，可得曲線的方程為2x2-y2=1，
設(shè)P（x0，y0），M（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{2x={x}_{0}}\\{2y={y}_{0}}\end{array}\right.$，代入曲線方程，可得
2x02-y02=1，即為2（2x）2-（2y）2=1，
即為8x2-4y2=1．
故答案為：8x2-4y2=1．

點(diǎn)評 本題考查中點(diǎn)的軌跡方程的求法，注意運(yùn)用代入法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查參數(shù)方程和普通方程的互化，注意運(yùn)用同角的平方關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（{x-a}）}^2}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\end{array}}$在x=0處取得最小值，則a的最大值是（　�。�
A．4B．1C．3D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．如圖，⊙O的半徑OC垂直于直徑AB，M為BO上一點(diǎn)，CM的延長線交⊙O于N，過N點(diǎn)的切線交AB的延長線于P．
（1）求證：PM2=PB•PA；
（2）若⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$OM，求MN的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．
（1）求證：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P-DE-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos2（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）當(dāng)t∈[-2，0]時，求函數(shù)g（t）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=2|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中實(shí)數(shù)k為參數(shù)．，滿足關(guān)于t的不等式$\sqrt{2}$k-5g（t）≤0有解，若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（-∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．如圖，四邊形BCDE為矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面CEF；
（2）求點(diǎn)A到平面CEF的距離．

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5．已知x，y∈R，向量α=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$是矩陣A=$[\begin{array}{l}{-1}&{x}\\{y}&{0}\end{array}]$的屬于特征值-2的一個特征向量．
（1）求矩陣A以及它的另一個特征值；
（2）求曲線F：9x2-2xy+y2=1在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的曲線F′的方程．

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2．某5名學(xué)生的總成績與數(shù)學(xué)成績?nèi)绫恚?br />
學(xué)生ABCDE
總成績（x）482383421364362
數(shù)學(xué)成績（y）7865716461
（1）畫出散點(diǎn)圖；
（2）求數(shù)學(xué)成績對總成績的回歸方程；
（3）如果一個學(xué)生的總成績?yōu)?50分，試預(yù)測這個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（參考數(shù)據(jù)：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）外一點(diǎn)P（x0，y0），求證：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$-1）2表示過點(diǎn)P的橢圓的兩條切線．

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