Question

1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．
（1）求證：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，由此能證明平面PBD⊥平面BFDE．
（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過(guò)O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角P-DE-F的余弦值．

解答 證明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．
∴PD⊥PF，PD⊥PE，
∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．
∴PD⊥平面PEF．
又∵EF?平面PEF，
∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，
∴EF⊥平面PBD，
又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．
解：（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，
∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，
又EF⊥平面PBD，PO，BD?平面PBD，
∴PO⊥EF，BD⊥EF，
∵PD⊥平面PEF，
以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過(guò)O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則DO=$\frac{3}{4}BD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{4}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PE=PF=1，PD=2，
PO=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴P（0，$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{2}{3}$），D（0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），
設(shè)平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{3\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-\frac{4\sqrt{2}}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n}$=（-3，1，2$\sqrt{2}$），
平面DEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角P-DE-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角P-DE-F的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．