Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（﹣1，）在橢圓C上，且|PF2|．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)N，滿足3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．

【解析】

（1）根據(jù)題意得①，②，③，由①②③組成方程組，解得，，進(jìn)而得橢圓的方程．

（2）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，，從而得線段中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入橢圓方程，可解得，進(jìn)而得出直線的方程．

解：（1）因為點(diǎn)在橢圓上，且．

所以，①

，解得，②

又因為③

由①②③組成方程組，解得，，

所以橢圓的方程為：．

（2）由（1）可知，

設(shè)直線的方程為，，，，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程得，

得，則，

所以線段中點(diǎn)，，

所以，，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程，

解得，，

所以直線的方程為：或．