【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.
【答案】見解析
【解析】
(1)C1的左焦點(diǎn)為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須;
直線與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則
直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故
化簡得,①
若直線與曲線C1有交點(diǎn),則
化簡得,②
由①②得,
但此時(shí),因?yàn)?/span>,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立
綜上,直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(3’+7’+8’)已知以a1為首項(xiàng)的數(shù)列{an}滿足:an+1=.
(1)當(dāng)a1=1,c=1,d=3時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)0<a1<1,c=1,d=3時(shí),試用a1表示數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100;
(3)當(dāng)0<a1<(m是正整數(shù)),c=,d≥3m時(shí),求證:數(shù)列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P(﹣1,)在橢圓C上,且|PF2|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)N,滿足3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
(1)若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線交軸與點(diǎn),并且,證明:當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)在某定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),且離心率e.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點(diǎn),且滿足∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)設(shè)x≥1,y≥1,證明x+yxy;
(Ⅱ)1≤a≤b≤c,證明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,為其焦點(diǎn),為其準(zhǔn)線,過任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn),、分別為、在上的射影,為的中點(diǎn),給出下列命題:
(1);(2);(3);
(4)與的交點(diǎn)的軸上;(5)與交于原點(diǎn).
其中真命題的序號為_________.
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