Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為原點，且

OP

⊥

OQ

．試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由e=

2

2

，可得

c

a

=

2

2

．由于過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

，可得

2b2

a

=

2

．又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其

OP

⊥

OQ

?x₁x₂+y₁y₂=0，可得3m²-2k²-2=0，再利用點到直線的距離公式即可得出．當(dāng)直線l的斜率不存在時，直接驗證即可．

解答： 解 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∵過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

，
∴

2b2

a

=

2

，
聯(lián)立

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1．
故橢圓的方程為

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

化為（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•

2m2-2

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m²=

m2-2k2

1+2k2

．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=0，
即3m²-2k²-2=0，
∴m²=

2k2+2

3

．
設(shè)原點O到直線l的距離為d，
則d=

|m|

k2+1

═

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，原點O到直線l的距離仍為

6

3

．
綜上所述，點O到直線l的距離為定值

6

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．