Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對?x∈R有f（x）+f（-x）=x²，且在（0，+∞）上有f′（x）-x＜0，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由條件和奇函數(shù)的定義判斷出g（x）是R上的奇函數(shù)，求出g′（x）后結(jié)合條件判斷出符號，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷出在（0，+∞）上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的性質(zhì)判斷出在R上的單調(diào)性，由g（x）的解析式化簡已知的不等式，利用g（x）的單調(diào)性列出不等式，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵對?x∈R有f（x）+f（-x）=x²，
∴g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-x²=0，
則函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，
∵在（0，+∞）上f′（x）-x＜0，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減，
由奇函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上遞減，
∵f（4-m）-f（m）=[g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²]-[g（m）+$\frac{1}{2}$m²]
=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），則4-m≤m，解得m≥2，
即實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的定義以及性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造法，化簡、變形能力．