【題目】如圖一所示,四邊形是邊長為的正方形,沿將點翻折到點位置(如圖二所示),使得二面角成直二面角.,分別為,的中點.
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)取的中點,連結(jié),由四邊形是正方形,可知在三棱錐中,,從而易知平面,進而可證明;
(2)由二面角為直二面角,可知,即,從而可知,以為原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,然后分別求出平面、平面的法向量、,進而由,可求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
(1)取的中點,連結(jié),
因為四邊形是正方形,所以在三棱錐中,,
因為,平面,所以平面,
又因為平面,所以.
(2)因為二面角為直二面角,平面平面,且,,所以,即,所以兩兩垂直.
以為原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
易知,所以,,,,,,,
則,,
顯然平面的一個法向量,
設(shè)平面的法向量為,則,
取,可得,,所以平面的一個法向量,
則,
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無明顯推理錯誤,但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等,記此類解答為“類解答”為評估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了項試驗:從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評閱,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評分數(shù)及各分數(shù)所占比例大約如下表:
教師評分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分數(shù)所占比例 |
某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨立評分,稱為一評和二評,當(dāng)兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于等于1分時,取兩者平均分為該題得分;當(dāng)兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于1分時,再由第三位老師評分,稱之為仲裁,取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分;當(dāng)一、二評分數(shù)和仲裁分數(shù)差值的絕對值相同時,取仲裁分數(shù)和前兩評中較高的分數(shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分數(shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).
(1)本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)本次數(shù)學(xué)考試有6個解答題,每題滿分12分,同學(xué)乙6個題的解答均為“類解答”.
①記乙同學(xué)6個題得分為的題目個數(shù)為計算事件的概率.
②同學(xué)丙的前四題均為滿分,第5題為“類解答”,第6題得8分.以乙、丙兩位同學(xué)解答題總分均值為依據(jù),談?wù)勀銓Α?/span>類解答”的認識.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校同時提供、兩類線上選修課程,類選修課每次觀看線上直播分鐘,并完成課后作業(yè)分鐘,可獲得積分分;類選修課每次觀看線上直播分鐘,并完成課后作業(yè)分鐘,可獲得積分分.每周開設(shè)次,共開設(shè)周,每次均為獨立內(nèi)容,每次只能選擇類、類課程中的一類學(xué)習(xí).當(dāng)選擇類課程次,類課程次時,可獲得總積分共_______分.如果規(guī)定學(xué)生觀看直播總時間不得少于分鐘,課后作業(yè)總時間不得少于分鐘,則通過線上選修課的學(xué)習(xí),最多可以獲得總積分共________分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線過點,傾斜角為.以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程.
(1)寫出直線的參數(shù)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與相交于,兩點,為線段的中點,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,平面平面,,,,,為棱上一動點,點是的中點.
(1)求證:;
(2)若,問是否存在點E,使得二面角的余弦值為?若存在,求出點E的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.,“”是“”的必要不充分條件
B.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件
C.命題“”的否定是:“使得”
D.命題p:“”,則是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”
B.命題“x0∈R,x0﹣1<0”的否定是“x∈R,x2+x﹣1>0”
C.命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題為假命題
D.若“p或q”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年是打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃的決勝之年,近年來,在各地各部門共同努力下,藍天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務(wù)措施穩(wěn)步推進,取得了積極成效,某學(xué)生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù),得到頻數(shù)分布表如下:
年上半年中天的頻數(shù)分布表
的分組 | |||||
天數(shù) |
年上半年中天的頻數(shù)分布表
的分組 | |||||
天數(shù) |
(1)估計年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例;
(2)求年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(精確到)
(3)用所學(xué)的統(tǒng)計知識,比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量情況.
附:
的分組 | ||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面為平行四邊形,底面,,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若E是側(cè)棱上的一點,且與底面所成的是為45°,求二面角的余弦值.
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