Question

20．如圖，在△ABC中，AB⊥BC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD=2DB，AC=3EC，沿DE將△ADE翻折起來(lái)，使得點(diǎn)A到P的位置，滿足$PB=\sqrt{3}BD$．
（1）證明：DB⊥平面PBC；
（2）若$PB=BC=\sqrt{3}，PC=\sqrt{6}$，點(diǎn)M在PC上，且，求三棱錐P-BEM的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$AB=3b，則BD=b，PB=\sqrt{3}b，PD=2b$，由此利用勾股定理得BD⊥PB，再由BD⊥BC，能證明BD⊥面PBC．
（2）由勾股定理得PB⊥BC，再由BD⊥PB，得PB⊥面BCE，從而三棱錐P-BEM的體積${V_{P-MBE}}={V_{E-PMB}}=\frac{3}{4}{V_{E-PBC}}$．

解答 證明：（1）設(shè)$AB=3b，則BD=b，PB=\sqrt{3}b，PD=2b$，
∵BD²+PB²=PD²
∴BD⊥PB…（4分）
∵BD⊥BC，PB∩BC=B，
∴BD⊥面PBC．…（6分）
解：（2）∵$PB=\sqrt{3}，BC=\sqrt{3}，PC=\sqrt{6}$，
∴PB⊥BC
∵BD⊥PB且BD∩BC=B，∴PB⊥面BCE，
∴三棱錐P-BEM的體積${V_{P-MBE}}={V_{E-PMB}}=\frac{3}{4}{V_{E-PBC}}=\frac{3}{8}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．