Question

17．給出四個命題：
（1）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值為2；      （2）2-3x-$\frac{4}{x}$的最大值為2-4$\sqrt{3}$；
（3）log_x10+lgx的最小值為2；   （4）sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$的最小值為4．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 （1）（2）（3）利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．（4）換元利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，x=0時(shí)取等號，即最小值為2，正確；
（2）x→-∞時(shí)，2-3x-$\frac{4}{x}$→+∞，無最大值，不正確；
（3）取x=$\frac{1}{2}$，log_x10+lgx＜0，因此最小值不為2不正確；
（4）令sin²x=t∈（0，1]，sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$=t+$\frac{4}{t}$=f（t），f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，
因此函數(shù)f（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，f（t）的最小值為f（1）=5．因此不正確．
其中真命題的個數(shù)是1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．