Question

10．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足x³f'（x）+8＞0，且f（2）=2，則不等式$f（{e^x}）＜\frac{4}{{{e^{2x}}}}+1$的解集為（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，ln2）
• C． （0，2）
• D． （0，ln2）

Answer 1

分析 令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，問題轉(zhuǎn)化為e^x＜2，解出即可．

解答 解：由條件知$f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，
則$F'（x）=f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
故F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
$F（2）=f（2）-\frac{4}{2^2}-1=0$，
又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，
從而e^x＜2，即x＜ln2，
故不等式的解集是（-∞，ln2），
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合知識，構(gòu)造函數(shù)令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$是解題的關(guān)鍵．