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【題目】全體非負整數0，1，2，…，按其自然順序組成一個小數 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….問：是否為無理數？證明你的結論.

【答案】見解析

【解析】

是無理數.

首先，由自然數有無窮多知為無限小數，只須正明其不是循環(huán)小數（用反證法）.

若不然，設為有理數，即為無限循環(huán)小數，記是第1個最短循環(huán)節(jié)，而這個循環(huán)節(jié)之前是一個位小數0.，有.

由的構成，知，且，，…，不全相等.特別地，，，…，不能全是9.

現將循環(huán)節(jié)接長，使其數碼的個數超過，即取，找出由個循環(huán)節(jié)組成的自然數，并在中找出的原始位置.

由，知該位置一定出現在的后面，即.

考慮的后繼自然數.

一方面，由中的各個數碼不全為9，知仍由個數碼組成，即

，

無論是否進位，個位數都不會等于.

另一方面，由循環(huán)小數知的后面個數不變，產生矛盾：.

所以，必為無理數.

練習冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的普通方程為，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的普通方程；

（2）直線與曲線在第一象限內的交點為，過點的直線交曲線于兩點，且的中點為，求直線的斜率.

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A. B. C. D.

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（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

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【題目】為了研究經常使用手機是否對數學學習成績有影響，某校高二數學研究性學習小組進行了調查，隨機抽取高二年級50名學生的一次數學單元測試成績，并制成下面的2×2列聯表：

及格

不及格

合計

很少使用手機

20

5

25

經常使用手機

10

15

25

合計

30

20

50

則有（　　）的把握認為經常使用手機對數學學習成績有影響．

參考公式:，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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【題目】為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況，在這些樹苗中隨機抽取了120株測量高度（單位：cm），經統計，樹苗的高度均在區(qū)間內，將其按，，，，， 分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據當地柏樹苗生長規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質樹苗.

（1）求圖中的值；

（2）用樣本估計總體，頻率代替概率，若從這批樹苗中隨機抽取4株，其中優(yōu)質樹苗的株數為，求的分布列和數學期望.

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【題目】設銳角△ABC的外接圓上的任意一點P所對應的西姆松線為，P的對徑點為，與的交點為。證明:對上兩點P、Q，當且僅當時，關于點N對稱，其中，N為△ABC的九點圓的圓心。

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【題目】以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．

（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；

（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．

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【題目】四面體中，，分別是的中點。一只甲蟲欲從點出發(fā)，沿四面體表面爬行到點。為使爬行的路程最短，則它必須攀越的棱是（）。

A. B. C. D.

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