Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”．試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；（II）不存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（I）求導(dǎo)得，按照兩根大小來(lái)分類討論，從而得到單調(diào)區(qū)間；（II）先假設(shè)存在，求出，求出，由此化簡(jiǎn)得，令換元后化簡(jiǎn)得，用導(dǎo)數(shù)證明不存在使上式成立.

試題解析：

（Ⅰ）易知函數(shù)的定義域是，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或；

令,解得

所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時(shí)，即時(shí), 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或；

令,解得．

所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

綜上所述，

⑴當(dāng)時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

⑵當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增；

⑶當(dāng)時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”．

設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

則

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

，

依題意得：．

化簡(jiǎn)可得：，即．

設(shè)（），上式化為：, 即．

令,．

因?yàn)?/span>,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立．

所以在內(nèi)不存在,使得成立．

綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”