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【題目】已知函數

)求函數的單調區(qū)間;

)記函數的圖象為曲線.設點,是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點,使得:曲線在點處的切線平行于直線,則稱函數存在中值相依切線.試問:函數是否存在中值相依切線,請說明理由.

【答案】(I, 函數上單調遞增,上單調遞減,當, 函數上單調遞增,當, 函數上單調遞增,上單調遞減;(II不存在,理由見解析.

【解析】

試題分析:I)求導得,按照兩根大小來分類討論,從而得到單調區(qū)間;II)先假設存在,求出,求出,由此化簡得,令換元后化簡得,用導數證明不存在使上式成立.

試題解析:

)易知函數的定義域是

時,即, ,解得;

,解得

所以,函數上單調遞增,上單調遞減

時,即, 顯然,函數上單調遞增;

時,即, ,解得;

,解得

所以,函數上單調遞增,上單調遞減

綜上所述,

, 函數上單調遞增,上單調遞減

, 函數上單調遞增

, 函數上單調遞增,上單調遞減

)假設函數存在中值相依切線

,是曲線上的不同兩點,且,

曲線在點處的切線斜率

,

依題意得:

化簡可得:,即

),上式化為:,

,

因為,顯然,所以上遞增,顯然有恒成立.

所以在內不存在,使得成立.

綜上所述,假設不成立.所以,函數不存在中值相依切線

練習冊系列答案
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