Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn，點(diǎn)（n，）在直線y＝x＋上．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn+2－2bn+1＋bn＝0（nN*），且b3＝11，前9項(xiàng)和為153．

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和

（3）設(shè)nN*，f（n）＝問(wèn)是否存在mN*，使得f（m＋15）＝5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），bn＝3n＋2．（2）（3）11

【解析】試題分析：（１）由點(diǎn)在直線上，求得 ，利用 與 的關(guān)系求出 通項(xiàng)公式，由 得 是等差數(shù)列，再算出首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式；（２）化簡(jiǎn) 的表達(dá)式，采用錯(cuò)位相減法求和；（３）分 為奇數(shù)和偶數(shù)，討論 是否成立．

試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，所以6，當(dāng)時(shí)， n＋5．且6也適合，所以

∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∵b3＝11，它的前9項(xiàng)和為153，設(shè)公差為d，則b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．

（Ⅱ）令

則

（Ⅲ） nN*，f(n)＝＝

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m＋15為偶數(shù)，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)，解得m＝11

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m＋15為奇數(shù)．若f(m＋15)＝5f(m)成立， m＋15＋5＝5（3m＋2），此時(shí)不成立．

所以當(dāng)m＝11時(shí)，f(m＋15)＝5f(m)．