Question

如圖給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為a_ij（i≥j，i，j∈N^*），則a₅₃等于

5

16

，a_mn=

m

2n+1

（m≥3）．

Answer 1

分析：①利用已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，即可求出a₅₃；
②由①可得：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出每一行的第一個(gè)數(shù)，從第三行起每一行的公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出a_mn．

解答：解：①第k行的所含的數(shù)的個(gè)數(shù)為k，∴前n行所含的數(shù)的總數(shù)=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
a₅₃表示的是第5行的第三個(gè)數(shù)，由每一列數(shù)成等差數(shù)列，且第一列是首項(xiàng)為

1

4

，公差d=

1

2

-

1

4

=

1

4

的等差數(shù)列，∴第一列的第5 個(gè)數(shù)=

1

4

+(5-1)×

1

4

=

5

4

；
又從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=

3 8

3 4

=

1

2

，∴第5行是以

5

4

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，∴a₅₃=

5

4

×(

1

2

)2=

5

16

．
②a_mn表示的是第m行的第n個(gè)數(shù)，由①可知：第一列的第m 個(gè)數(shù)=

1

4

+(m-1)×

1

4

=

m

4

，∴a_mn=

m

4

×(

1

2

)n-1=

m

2n+1

．
故答案分別為

5

16

，

m

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．