Question

10．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長AE交BC與F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示
（Ⅰ） 求證：平面AEF⊥平面BCD；
（Ⅱ） 在線段AF上是否存在點(diǎn)M使得EM∥平面ADC？若存在，請指明點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意知：AE⊥BD，EF⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理得：BD⊥平面AEF，由此能證明平面AEF⊥平面BCD．
（II）過點(diǎn)E作EN∥CD交BC于點(diǎn)N，再過點(diǎn)N作NM∥AC交AF于點(diǎn)M，推導(dǎo)出平面ENM∥平面ACD，從而EM∥平面ACD，由此能求出存在線段AF上滿足條件的點(diǎn)M，使得EM∥平面ADC，點(diǎn)M位于線段AF的四等分點(diǎn)處，且AM=3FM．

解答 證明：（I）由題意知：AE⊥BD，EF⊥BD，
而AE∩EF=E，AE，EF?平面AEF，
故根據(jù)線面垂直的判定定理可得：BD⊥平面AEF，
又BD?平面BCD，故有平面AEF⊥平面BCD．
解：（II）線段AF上存在滿足條件的點(diǎn)M使得EM∥平面ADC，理由如下：
過點(diǎn)E作EN∥CD交BC于點(diǎn)N，再過點(diǎn)N作NM∥AC交AF于點(diǎn)M，
而EN∩NM=N，AC∩CD=C．EN，NM?平面ENM，AC，CD?平面ACD，
故有平面ENM∥平面ACD，
又EM?平面ENM，故EM∥平面ACD，
由題意知點(diǎn)F為線段BC的三等分點(diǎn)，且$FC=2BF=\frac{2}{3}BC$，
而點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，$CN=BN=\frac{1}{2}BC$，
于是$FN=FC-NC=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{3}BC=\frac{1}{6}BC$，
可得點(diǎn)N為線段CF的四等分點(diǎn)，且CN=3FN，
從而點(diǎn)M為線段AF的四等分點(diǎn)，且AM=3FM，
因此，存在線段AF上滿足條件的點(diǎn)M，使得EM∥平面ADC，
點(diǎn)M位于線段AF的四等分點(diǎn)處，且AM=3FM．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．