Question

5．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M是平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)一點(diǎn)，且BM∥平面ACD₁，則tan∠DMD₁的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接A₁C₁，B₁D₁，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M滿足條件，通過證明得出A₁C₁∥平面ACD₁，BM∥平面ACD₁，得出點(diǎn)M在直線A₁C₁上時，都滿足BM∥ACD₁；
從而求出tan∠DMD₁的最大值．

解答 解：如圖所示，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接A₁C₁，B₁D₁，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件；
證明如下，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接BM，OB₁，
則A₁A∥C₁C，且A₁A=C₁C，
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁，
又AC?平面ACD₁，且A₁C₁?平面ACD₁，
∴A₁C₁∥平面ACD₁；
同理BM∥D₁O，BM∥平面ACD₁，
∴當(dāng)M在直線A₁C₁上時，都滿足BM∥ACD₁；
∴tan∠DMD₁=$\frac{{DD}_{1}}{{MD}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$是最大值．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．