Question

5．已知函數(shù)g（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+k}}$，其中k＞1，若g（x）≥m在x∈[-1，1]上有解，則實數(shù)m的最大值（　�。�

• A． $\frac{1}{1+k}$
• B． $\frac{1}{k}$
• C． $\frac{1}{{e（{1+k}）}}$
• D． $\frac{e}{1+k}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解閉區(qū)間上的最大值，然后求解m即可．

解答 解：函數(shù)g（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+k}}$，可得函數(shù)g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+k）-{e}^{x}（2x）}{（{{x}^{2}+k）}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}[（x-1）^{2}+k-1]}{（{x}^{2}+k）^{2}}$，
∵k＞1，∴k-1＞0，∴g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
g（x）≥m在x∈[-1，1]上有解，
∴m≤g（x）_max=g（1）=$\frac{e}{1+k}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．