Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．
（Ⅰ）解關于x的不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）對任意x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，即可解關于x的不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）對任意x∈R恒成立，得|x-2|≥m|x|-2對任意x∈R恒成立，分類討論，分離參數(shù)，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，
即x-2＜-3或x-2＞3，…（3分）
∴x＜-1或x＞5．故原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞5}…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≥g（x），得|x-2|≥m|x|-2對任意x∈R恒成立，
當x=0時，不等式|x-2|≥m|x|-2成立，
當x≠0時，問題等價于$m≤\frac{{|{x-2}|+2}}{|x|}$對任意非零實數(shù)恒成立，…（7分）
∵$\frac{{|{x-2}|+2}}{|x|}≥\frac{{|{x-2+2}|}}{|x|}=1$，∴m≤1，即m的取值范圍是（-∞，1]．…（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．