精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A、B是長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，聯(lián)結(jié)AM，交橢圓于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)a=2，b=
2
時(shí)，設(shè)M（2，2），求
OP
•
OM
的值；
（2）若
OP
•
OM
為常數(shù)，探究a、b滿足的條件？并說(shuō)明理由；
（3）直接寫出
OP
•
OM
為常數(shù)的一個(gè)不同于（2）結(jié)論類型的幾何條件．
分析：（1）利用點(diǎn)斜式可得AM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P，利用數(shù)量積可得
OP
•
OM
；
（2）設(shè)P（x0，y0），M（a，t）（t≠0），利用A、P、M三點(diǎn)共線，可得
y0
x0+a
=
t
2a
，即t=
2ay0
x0+a
．利用
x02
a2
+
y02
b2
=1，可得y02=
b2(a-x0)(a+x0)
a2
．于是
OP
•
OM
=2b2+
a2-2b2
a
x0．令a2-2b2=0即可．
（3）利用（2）中的：a2=2b2即可給出：“設(shè)F1為橢圓的焦點(diǎn)，C為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)△COF1為等腰三角形時(shí)，
OP
•
OM
為常數(shù)2b2或a2．”或給出“當(dāng)PB⊥OM時(shí)，
OP
•
OM
為常數(shù)2b2或a2．”
解答：解 （1）直線AM：y=
1
2
(x+2)，
與橢圓的方程聯(lián)立
y=
1
2
(x+2)
x2
4
+
y2
2
=1
，解得P(
2
3
，
4
3
)．
∴
OP
•
OM
=(
2
3
，
4
3
)•(2，2)=4．     
（2）設(shè)P（x0，y0），M（a，t）（t≠0），
∵A、P、M三點(diǎn)共線，于是
y0
x0+a
=
t
2a
，即t=
2ay0
x0+a
．   
又
x02
a2
+
y02
b2
=1，即y02=
b2(a-x0)(a+x0)
a2
．        
∴
OP
•
OM
=ax0+ty0=ax0+
2ay02
x0+a
=ax0+
2b2(a-x0)
a
=2b2+
a2-2b2
a
x0．
∴當(dāng)a2-2b2=0時(shí)，
OP
•
OM
為常數(shù)2b2． 
（3）給出“設(shè)F1為橢圓的焦點(diǎn)，C為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)△COF1為等腰三角形時(shí)，
OP
•
OM
為常數(shù)2b2或a2．”
或給出“當(dāng)PB⊥OM時(shí)，
OP
•
OM
為常數(shù)2b2或a2．”
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、數(shù)量積運(yùn)算、三點(diǎn)共線問(wèn)題與直線斜率的關(guān)系、探究性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于點(diǎn)A、B，直線AB與x軸交于點(diǎn)M，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過(guò)A、F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為K，將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的最小值．

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