Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對(duì)于x∈[2，6]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，

∴在定義域上是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由x∈[2，6]時(shí)，恒成立，
∴
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知x∈[2，3]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，x∈[3，6]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
x∈[2，6]時(shí)，g（x）_min=g（6）=7．．
∴0＜m＜7．
分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于0可求其定義域，將-x代入函數(shù)f（x）可知f（-x）=-f（x），故為奇函數(shù)．
（2）f（x）是以e＞1為底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可得，即0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立，進(jìn)而可求m的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，即真數(shù)大于0、當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)單調(diào)遞減．