如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA1的中點，AA1=2AC=2BC=2a（a＞0）．
（1）證明：C1D⊥平面BDC；
（2）求三棱錐C-BC1D的體積．
（1）證明：∵BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，
C1D?平面ACC1A1，∴BC⊥C1D，
A1C1=A1D=AD=AC，∴∠A1DC1=∠ADC=
π
4
，
∴∠C1DC=
π
2
，即C1D⊥DC，
又BD∩CD=C，∴C1D⊥平面BDC，
（2）三棱錐C-BC1D即三棱錐C1-BCD，由（1）知BC⊥CD，
CD=
2
a，BC=a
∴△BCD的面積S=
1
2
×BC×CD=
2
2
a2，
由（1）知，C1D是三棱錐C1-BCD底面BDC上的高，
∴體積V=
1
3
Sh=
1
3
×S×C1D=
1
3
×
2
2
a2×
2
a=
1
3
a3．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別為A1B1、A1A的中點．
（Ⅰ）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（Ⅱ）求證：BN⊥平面C1MN；
（Ⅲ）求點B1到平面C1MN的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一點P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE=4．如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點F是AB的中點．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方形AA1B1B中，AB=2AA1，C，C1分別AB，A1B1是的中點（如圖1）．將此長方形沿CC1對折，使平面AA1C1C⊥平面CC1B1B（如圖2），已知D，E分別是A1B1，CC1的中點．
（1）求證：C1D∥平面A1BE；
（2）求證：平面A1BE⊥平面AA1B1B．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當E為PB中點時，求證：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．
（3）當PD=
2
AB且E為PB的中點時，求AE與平面PBC所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，點M在PB上，且MB=3PM，PB與平面ABC成30°角．
（1）求證：CM∥面PAD；
（2）求證：面PAB⊥面PAD；
（3）求點C到平面PAD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PC=
2
a，則它的五個面中，互相垂直的面是______．

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