Question

已知F₁、F₂是橢圓Γ₁：

x2

m2

+

y2

m2-4

=1和雙曲線Γ₂：

x2

n2

-

y2

4-n2

=1的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F₁PF₂=

π

3

，則mn的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t，求出焦點(diǎn)，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由橢圓和雙曲線的定義可得m，n的關(guān)系，再由重要不等式a²+b²≥2ab，即可求得最大值．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t，
由題意可得公共焦點(diǎn)為知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
即有c=2，
在三角形PF₁F₂中，
由余弦定理可得4c²=s²+t²-2stcos60°
即s²+t²-st=16，
由橢圓的定義可得s+t=2m（m＞0），
由雙曲線的定義可得s-t=2n（n＞0），
解得s=m+n，t=m-n．
即有16=（m+n）²+（m-n）²-（m+n）（m-n）=m²+3n²≥2

3

mn，
即有mn≤

8 3

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

n，取得最大值

8 3

3

．
故答案為：

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓和雙曲線的定義，同時(shí)考查三角形的余弦定理和重要不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．