Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記，數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證數列{a_n+1-a_n}是等比數列，利用等比數列的定義，只需證 （n≥2）是個非零常數．
（2）利用（1）的結論求出b_n，然后求出數列{b_n}的前n項和為S_n，通過對不等式的分析，探討使S_n＞2010的n的最小值．
解答：解：（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故數列{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
==2ⁿ（n≥2）
又a₁=2滿足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知=
∴
=
=
=
由S_n＞2010得：，
即，因為n為正整數，所以n的最小值為1006
點評：本題是個中檔題，主要考查了由數列的遞推式證明等比數列和求數列通項和前n項和的方法，同時考查對于不等式的分析能力．