是否存在等差數(shù)列{an}，使a1cm+a2cm1+a3cm2+…+an+1cmn=n•2m對任意n∈N*都成立？若存在，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：假設(shè)存在等差數(shù)列an=a1+（n-1）d，滿足題意，通過對a1cm+a2cm1+a3cm2+…+an+1cmn=n•2m整理，找出a1=0，d=2，即可說明存在數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可．
解答：證明：假設(shè)存在等差數(shù)列an=a1+（n-1）d
滿足要求a1Cn+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn=a1（Cn+Cn1+…+Cnn）+d（Cn1+2Cn2+…+nCnn）（4分）
=a1•2n+nd（Cn-1+Cn-11+…+Cn-1n-1）=a1•2n+nd•2n-1
依題意a1•2n+nd•2n-1=n•2n，2a1+n（d-2）=0對n∈N+恒成立，（10分）
∴a1=0，d=2，
所求的等差數(shù)列存在，其通項(xiàng)公式為an=2（n-1）．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的存在性問題，數(shù)列求和，數(shù)列的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是難度較大題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（-1+x）=f（-1-x），當(dāng)x∈[-2，-1]時，f（x）=t（x+2）3-t（x+2）（t∈R），記函數(shù)y=f（x）的圖象在（
1
2
，f（
1
2
））處的切線為l，f′（
1
2
）=1．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）點(diǎn)列B1（b1，2），B2（b2，3），…，Bn（bn，n+1）在l上，A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0）依次為x軸上的點(diǎn)，如圖，當(dāng)n∈N*時，點(diǎn)An，Bn，An+1構(gòu)成以AnAn+1為底邊的等腰三角形．若x1=a（0＜a＜1），求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列{xn}是等差數(shù)列？如果存在，寫出a的一個值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|
1
2
≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=
∫
n
0
f(x)dx，是否存在等差數(shù)列an和首項(xiàng)為f（1）公比大于0的等比數(shù)列bn，使數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和等于Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x=0是函數(shù)f（x）=（x2+bx）ex的一個極值點(diǎn)．
（1）求f（x）；
（2）若不等式f（x）＞ax3在[，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)y=f（x）在x=an（an＞0，n∈N*）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（an-an+1，0）．若a1=1，bn=
1an
+2，問是否存在等差數(shù)列{cn}，使得b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2對n∈N*都成立？若存在求出{cn}的通項(xiàng)公式，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=logax（a＞0且a≠1），若2，f（a1），…，f（an），2n+4（n=1，2，3，…）成等差數(shù)列，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){bn}=anf（an），若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，試求Sn；
（3）令cn=anlgan，問是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，若存在，請求出a的范圍；，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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