橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且橢圓上動點P到左焦點距離的最大值為2+
3
．
（I）求橢圓C的方程；
（II）斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，定點A（0，1），若|AM|=|AN|，求直線l的斜率k的取值范圍．
分析：（I）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且橢圓上動點P到左焦點距離的最大值為2+
3
，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）利用點差法，結(jié)合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，從而可得E的坐標，利用E在橢圓內(nèi)部，建立不等式，即可求直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且橢圓上動點P到左焦點距離的最大值為2+
3

∴
c
a
=
3
2
a+c=2+
3
，∴
c=
3
a=2
，∴b=1
∴橢圓C的方程為C：
x2
4
+y2=1…（4分）
（II）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），其中點E（x0，y0），則
x
2
1
+4
y
2
1
=4
x
2
2
+4
y
2
2
=4

兩方程相減可得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
∴x0+4y0k=0①
又AE⊥MN，故
y0-1
x0
=-
1
k
，即x0+ky0=k②
由①②知，
x0=
4k
3
y0=-
1
3
，即E(
4k
3
，-
1
3
)，…（8分）
∵E在橢圓內(nèi)部，∴
4k2
9
+
1
9
＜1
∴k2＜2…（10分）
又k≠0，故k∈(-
2
，0)∪(0，
2
)…（12分）
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標準方程，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確運用點差法是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當(dāng)弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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