Question

如圖，△ABC中，sin=，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的長(zhǎng)；（Ⅱ）求△DBC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由sin的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos∠ABC的值，設(shè)BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于兩角互補(bǔ)，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，兩個(gè)關(guān)系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，①②聯(lián)立即可求出a與b的值，即可得到BC的值；
（Ⅱ）由角ABC的范圍和cos∠ABC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面積等于三角形ABC面積的，進(jìn)而求出三角形BDC的面積．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閟in=，所以cos∠ABC=1-2=1-2×=．（2分）
在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得： ①（5分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
，．（7分）
因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠BDC，所以有，所以3b²-a²=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=，則sin∠ABC==，又AB=2，BC=3，
則△ABC的面積為AB•BCsin∠ABC=，
又因?yàn)锳D=2DC，所以△DBC的面積為×2=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．