Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m為正的常數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間，并指明單調(diào)性；
（3）若a＞0，b＞0，證明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定義域．
（2）求g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x），然后分別對g'（x）＞0以及g'（x）＜0兩種情況進行討論．繼而求得g（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，按照g（x）的單調(diào)性，證明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即為結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)題意，f（x）的定義域為{x|x＞0}，
要使g（x）有意義，則

x＞0 m-x＞2

，
那么g（x）的定義域為{x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
則g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=ln

x

m-x

由g'（x）＞0，得

x

m-x

＞1，
解得：

m

2

＜x＜m
由g'（x）＜0
得：0＜

x

m-x

＜1
解得：0＜x＜

m

2

∴g（x）在[

m

2

，m)上為增函數(shù)，
在(0，

m

2

}上為減函數(shù)
（3）要證f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只須證f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
則g（x）=f（x）+f（a+b-x）
則g（x）在[

a+b

2

，a+b）上為增函數(shù)，
在(0，

a+b

2

]上為減函數(shù)．
∴g（x）的最小值為：
g（

a+b

2

）=f（

a+b

2

）+f（a+b-

a+b

2

）=2f（

a+b

2

）
=（a+b）ln

a+b

2

=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（

a+b

2

）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

點評：本題考查不等式的證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的定義域．通過對知識的靈活運用，考查對知識的理解與認知．屬于中檔題．