Question

【題目】若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn ， 若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 對一切n∈N* ， 求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ． ∴a1+1=2，解得a1=1．
又數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∴2nbn=nbn+1 ， 化為2bn=bn+1 ，
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為2．
∴bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= = = ，
數(shù)列{cn}的前n項和為Tn=1+ +…+ ，
∴ = +…+ + ，
∴ =1+ + +…+ ﹣ = ﹣ =2﹣ ，
∴Tn=4﹣ ．
不等式（﹣1）nλ＜Tn+ ，化為：（﹣1）nλ＜4﹣ ，
n=2k（k∈N*）時，λ＜4﹣ ，∴λ＜2．
n=2k﹣1（k∈N*）時，﹣λ＜4﹣ ，∴λ＞﹣2．
綜上可得：實數(shù)λ的取值范圍是（﹣2，2）．
【解析】（I）數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ． 可得a1+1=2，解得a1 ． 利用等差數(shù)列的通項公式可得an ． 可得2nbn=nbn+1 ， 化為2bn=bn+1 ， 利用等比數(shù)列的通項公式可得bn ． （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= = = ，利用“錯位相減法”可得數(shù)列{cn}的前n項和為Tn ， 再利用數(shù)列的單調(diào)性與分類討論即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．