Question

在△ABC中，點(diǎn)D和E分別在邊BC與AC上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，AD與BE交于R，用向量法證明RD=

1

7

AD，RE=

4

7

BE．

Answer 1

考點(diǎn)：平行向量與共線向量,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，設(shè)

AR

=m

AD

=m(

BD

-

BA

)=-

1

3

m

CB

-m(

BC

+

CA

)=

2

3

m

CB

-m

CA

．另一方面：由于B，R，E三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)n使得

AR

=n

AB

+(1-n)

AE

=n(

CB

-

CA

)-（1-n）•

2

3

CA

=n

CB

-

2+n

3

CA

．由共面向量基本定理即可得出．

解答： 證明：如圖所示，
設(shè)

AR

=m

AD

=m(

BD

-

BA

)=-

1

3

m

CB

-m(

BC

+

CA

)=

2

3

m

CB

-m

CA

，
另一方面：由于B，R，E三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)n使得

AR

=n

AB

+(1-n)

AE

=n(

CB

-

CA

)-（1-n）•

2

3

CA

=n

CB

-

2+n

3

CA

．
由共面向量基本定理可得：

2 3 m=n -m=- 2+n 3

，解得m=

6

7

，
∴

RD

=

1

7

AD

，
即RD=

1

7

AD．
同理可證：RE=

4

7

BE．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．