如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=
1
2
AB，E是BP的中點．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求CE與平面PAB所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）設(shè)AB=2a，則BD=
2
a，∠DBA=45°△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，以D點為原點，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，過D點且垂直于平面ABCD的直線與z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA⊥BD．
（2）求出平面PAB的一個法向量和
CE
=（
3
2
a
4
，0，
2
a
4
），設(shè)CE與平面PAB所成角為θ，由sinθ=|cos＜
CE
，
n
＞|=
|
CE
•
n
|
|
CE
|•|
n
|
，利用向量法能求出CE與平面PAB所成角的正弦值．
解答： （1）證明：設(shè)AB=2a，則BD=
2
a，在△ADB中，由題意得∠DBA=45°∴AD=
2
a，又∵BD2+AD2=4a2=AB2，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
如圖，以D點為原點，DA所在直線為x軸，

DB所在直線為y軸，過D點且垂直于平面
ABCD的直線與z軸建立空間直角坐標系．
則B=（0，
2
a，0），P（
2
2
a，0，
2
2
a），
A（
2
a，0，0），D（0，0，0），
PA
=（
2
2
a，0，-
2
2
a），
BD
=（0，-
2
a，0），
∴
PA
•
BD
=0，
∴PA⊥BD．
（2）
PB
=（-
2
2
a，
2
a，-
2
2
a），
AB
=（-
2
a，
2
a，0），
設(shè)平面PAB的一個法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AB
=-
2
ax+
2
ay=0
n
•
PB
=-
2
2
ax+
2
ay-
2
2
az=0
，
令x=1，得
n
=（1，1，1），
C（-
2
2
a，
2
2
a，0），E（
2
a
4
，
2
a
2
，
2
a
4
），
CE
=（
3
2
a
4
，0，
2
a
4
），
設(shè)CE與平面PAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜
CE
，
n
＞|=
|
CE
•
n
|
|
CE
|•|
n
|
=
3
2
a 
4
+
2
a 
4
5
2
a•
3
=
2
30
15
．
∴CE與平面PAB所成角的正弦值為
2
30
15
．
點評：本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用，注意向量法的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α∈（0，
π
4
），cos（α-
π
4
）=
4
5
，則cosα=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+
π
6
）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=cos
x
2
(
3
sin
x
2
+cos
x
2
)的在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（　�。�
A、(
π
3
，
2π
3
)
B、(-
π
6
，
π
2
)
C、(0，
π
2
)
D、(-
2π
3
，0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+mx+n滿足對任意x∈R，有f（x-
a
2
）=f（-x-
a
2
）成立，并且圖象經(jīng)過點（0，2a-1）（其中a為常數(shù)）．
（1）試用a表示m、n；
（2）當a＜0時，g（x）=
f(lnx)
lnx+1
在[e，e2]上有最小值a-1，求實數(shù)a的值；
（3）當a=-2時，對任意的x1∈[e，e2]，存在x2∈[-
π
6
，
2π
3
]使得不等式f（lnx1）-（4λ-1）（1+lnx1）sinx2≥0成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

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如圖，在四面體ABCD中，AB⊥面BCD，面ABC⊥面ACD，且∠ACB=∠CBD=45°，
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（2）求直線AC與平面ABD所成角的大小．

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如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，正確的命題是（　　）
A、BD與CF成60°角
B、BD與EF成60°角
C、AB與CD成60°角
D、AB與EF成60°角

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），我們把使得f（x）=x成立的x稱為函數(shù)f（x）的“不動點”；把使得f（f（x））=x成立的x稱為函數(shù)f（x）的“穩(wěn)定點”，函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”構(gòu)成的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（1）求證：A⊆B；
（2）若f（x）=2x-1，求集合B；
（3）若f（x）=x2-a，且A=B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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同步練習(xí)冊答案