Question

15．已知在平面四邊形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，則四邊形ABCD面積的最大值為3+$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC²，再求四邊形ABCD的面積表達式，利用三角恒等變換求出它的最大值．

解答 解：如圖所示，
設(shè)∠ABC=θ，θ∈（0，π），
則在△ABC中，由余弦定理得，
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosθ=6-4$\sqrt{2}$cosθ；
∴四邊形ABCD的面積為
S=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$（AB•BC•sinθ+AC•CD），
化簡得
S=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$sinθ+6-4$\sqrt{2}$cosθ）
=3+$\sqrt{2}$（sinθ-2cosθ）
=3+$\sqrt{10}$sin（θ-φ），
其中tanφ=2，
當sin（θ-φ）=1時，
S取得最大值為3+$\sqrt{10}$．
故答案為：3+$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了解三角形和三角恒等變換的應(yīng)用問題，是綜合題．