Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{ln（ax）+2}$（a≠0）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）求出切線斜率f′（$\frac{1}{2}$），在計(jì)算f（$\frac{1}{2}$），利用點(diǎn)斜式方程得出切線方程；
（2）求出f（x）的極值點(diǎn)，對(duì)極值點(diǎn)與區(qū)間[2，4]的關(guān)系進(jìn)行討論得出f（x）的單調(diào)性，從而得出f（x）的最值．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=$\frac{x}{ln2x+2}$．f′（x）=$\frac{ln2x+1}{（ln2x+2）^{2}}$．
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線斜率k=f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴切線方程為y-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），即2x-8y+1=0．
（2）f′（x）=$\frac{lnax+1}{（lnax+2）^{2}}$，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{ae}$．
若a＜0，則f（x）在[2，4]上無(wú)意義，不符合題意．故a＞0．
①若$\frac{1}{ae}$≤2，即a≥$\frac{1}{2e}$時(shí)，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[2，4]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$，f_max（x）=f（4）=$\frac{4}{ln4a+2}$．
②若$\frac{1}{ae}$≥4，即a≤$\frac{1}{4e}$時(shí)，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（4）=$\frac{4}{ln4a+2}$，f_max（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$．
③若2＜$\frac{1}{ae}$＜4，即$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}$，則f（x）在[2，$\frac{1}{ae}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{ae}$，4]上單調(diào)遞增．
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{ae}$）=$\frac{1}{ae}$，f_max（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，分類討論思想，屬于中檔題．