Question

9．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知：a₂=4，由=a₂-a₁=2 根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）由（1）可知：S_n=n（n+1），$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$的值．

解答 解：（1）由：等差數(shù)列性質(zhì)可知a₁+a₂+a₃=3a₂=12，
a₂=4，…1分
由 d=a₂-a₁=2 …2分
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n …4分
數(shù)列{a_n} 的前n 項(xiàng)和為：${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$ …6分
（2）∵$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ …8分
$\therefore$ $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{100}}}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$ …9分
=$1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$ …10分
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$=$\frac{100}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查采用“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．